Question

已知函数.

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)； 

(Ⅱ) ①当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是.

②当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是.

③当时，的单调递增区间是. 

④当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（Ⅲ）。

【解析】

试题分析：.（Ⅰ），解得.  2分                             

（Ⅱ）.

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.      3分

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.  4分

③当时，， 故的单调递增区间是.  5分

④当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.   6分

（Ⅲ）由已知，在上有.        8分              

由已知，，                   9分

由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，故.     11分

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，， 综上所述，.       14分

考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值。

点评：当含有参数时，我们也可以通过解不等式来得到单调递增（或单调递减）区间，这样问题就转化为解含参不等式。解含参不等式主要应用的数学思想是分类讨论，常讨论的有：开口方向，两个的大小，和判别式?，讨论时要不重不漏。