Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意的n≥2，恒有S_n=2S_n-1+n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）若，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）确定c_n的表达式，利用二项式定理进行放缩，再用裂项法求和，即可证得结论；也可以利用数学归纳法证明当n≥2时，总有2ⁿ≥n+2，从而可得结论．
解答：（1）解：当n≥2时，S_n=2S_n-1+n，又S_n+1=2S_n+n+1，
两式相减得：a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，S₂=2S₁+2，得a₂=3，满足a₂+1=2（a₁+1），
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴，∴．
（2）证明：由（1）可知∴，∴
由
因为
故，
由
当n≥3时，
则不等式成立．
另解：2ⁿ⁺¹-n-2=2ⁿ+（2ⁿ-n-2），当n≥2时，总有2ⁿ≥n+2（用数学归纳法证明，略）
当n=1，c₁=1＜2
则n≥2时，
故
则不等式成立．
点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的证明，考查数列与不等式的综合，考查裂项法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．