题目内容
把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
分析：（1）由已知中容器的高为x，正三棱柱形容器的底边长为(6-2
x)，我们计算出棱柱的底面面积代入棱柱体积公式，即可求出函数V（x）的解析式，并根据高和底面边长均为正和，可以得到函数的解析式．
（2）由（1）的中的解析式，我们求出函数导函数的解析式，利用导数法，求出函数的极值点，分析函数的单调性，即可得到当x为多少时，容器的容积最大，代入即可得到最大容积．
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（2）由（1）的中的解析式，我们求出函数导函数的解析式，利用导数法，求出函数的极值点，分析函数的单调性，即可得到当x为多少时，容器的容积最大，代入即可得到最大容积．
解答：解：（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(6-2
x)（1分）．
则V(x)=
(6-2
x)2x（4分）
函数的定义域为(0，
)（5分）
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间(0，
)上的最大值点．先求V（x）的极值点．
在开区间(0，
)内，V′(x)=9
x2-36x+9
（7分）
令V′（x）=0，即令9
x2-36x+9
=0，解得x1=
，x2=
(舍去)．
因为x1=
在区间(0，
)内，x1可能是极值点．当0＜x＜x1时，V′（x）＞0；
当x1＜x＜
时，V′（x）＜0．（9分）
因此x1是极大值点，且在区间(0，
)内，x1是唯一的极值点，
所以x=x1=
是V（x）的最大值点，并且最大值 f(
)=4
即当正三棱柱形容器高为
时，容器的容积最大为4．
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则V(x)=
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函数的定义域为(0，
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（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间(0，
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在开区间(0，
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令V′（x）=0，即令9
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| ||
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因为x1=
| ||
| 3 |
| 3 |
当x1＜x＜
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因此x1是极大值点，且在区间(0，
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所以x=x1=
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| ||
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即当正三棱柱形容器高为
| ||
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点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答本题的关键是根据已知求出棱柱的底面面积和高，进而求出函数的解析式，建立数学模型．
练习册系列答案
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