Question

已知椭圆的右顶点A为抛物线y²=8x的焦点，上顶点为B，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若线段PQ的中点横坐标是，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的右顶点A为抛物线y²=8x的焦点，确定a的值，根据离心率，可得椭圆的几何量，从而可得椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，根据线段PQ的中点横坐标是，即可求得直线l的方程．
解答：解：（1）抛物线y²=8x的焦点为A（2，0），
∵椭圆的右顶点A为抛物线y²=8x的焦点
∴a=2…（2分）
∵离心率，∴…（3分）
故b²=a²-c²=1…（5分）
所以椭圆C的方程为：…（6分）
（2）设直线
由，消去y可得…（8分）
因为直线l与椭圆C相交于P，Q两点，所以△=128k²-16（4k²+1）＞0
解得…（9分）
又…（10分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中点M（x，y）
因为线段PQ的中点横坐标是，所以…（12分）
解得k=1或…（13分）
因为，所以k=1
因此所求直线…（14分）
点评：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．