Question

7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow m$=（a+b，a-c），$\overrightarrow n$=（sinC，sinA-sinB），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（1）求∠B的大小．
（2）若a=1，b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由向量共线和正余弦定理可得cosB，进而可得角B；
（2）由余弦定理解方程可得c值，代入三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB计算可得．

解答 解：（1）由题意结合向量共线可得（a+b）（sinA-sinB）=（a-c）sinC，
由正弦定理可得（a+b）（a-b）=（a-c）c，
整理可得a²-b²=ac-c²，即a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B为三角形的内角，∴B=60°；
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
代值可得3=1+c²-c，解方程可得c=2，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式以及向量的平行关系，属中档题．