题目内容
如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求证：平面BDA1⊥平面ACC1A1．
分析：（1）连结AB1交A1B于点E，连结DE．证出DE为△AB1C的中位线，得DE∥B1C，利用线面平行的判定定理，即可证出B1C∥平面A1BD；
（2）利用等边三角形“三线合一”证出BD⊥AC，根据AA1⊥平面ABC证出BD⊥AA1，从而证出BD⊥平面ACC1A1，结合BD是平面A1BD内的直线，利用面面垂直的判定定理，可得平面A1BD⊥平面ACC1A1．
（2）利用等边三角形“三线合一”证出BD⊥AC，根据AA1⊥平面ABC证出BD⊥AA1，从而证出BD⊥平面ACC1A1，结合BD是平面A1BD内的直线，利用面面垂直的判定定理，可得平面A1BD⊥平面ACC1A1．
解答：
解：（1）连结AB1，交A1B于点E，连结OE
∵四边形AA1B1B为平行四边形，
∴E为AB1的中点，
∵D是AC的中点，可得DE为△AB1C的中位线，
∴DE∥B1C，
∵DE?平面A1BD，B1C?平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD；
（2）∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA1⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA1，
∵AC、AA1是平面ACC1A1内的相交直线，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD?平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面ACC1A1．
解：（1）连结AB1，交A1B于点E，连结OE∵四边形AA1B1B为平行四边形，
∴E为AB1的中点，
∵D是AC的中点，可得DE为△AB1C的中位线，
∴DE∥B1C，
∵DE?平面A1BD，B1C?平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD；
（2）∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA1⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA1，
∵AC、AA1是平面ACC1A1内的相交直线，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD?平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面ACC1A1．
点评：本题在直三棱柱中证明线面平行和面面垂直，着重考查了直三棱柱的性质和空间平行、垂直位置关系的判定与证明等知识，属于中档题．
练习册系列答案
天天练口算系列答案
相关题目
如图所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分别交A1D1、AD1于点B1、P，作CC1∥AA1，分别交A1D1、AD1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（2012•淮北一模）如图所示，三棱柱ABC-A1B1Cl中，AB=AC=AA1=2，面ABC1⊥面AAlClC，∠AAlCl=∠BAC1=600，
,若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D.
