Question

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．设数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N*）．
（Ⅰ）求通项公式a_n的表达式；
（Ⅱ）令，S_n=b₁+b₂+…+b_n，，试比较S_n与的大小，并加以证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴a₁=f（0）=1…（2分）
由递推关系知f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），
∵f（x）在R上单调，∴a_n+1-a_n=2，（n∈N*），…（4分）
又a₁=1，∴a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）=，
∴=，=，…（10分），
∴欲比较S_n与的大小，只需比较4ⁿ与2n+1的大小．…（11分）
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n⁰+C_n¹•3+…+C_nⁿ•3ⁿ≥1+3n＞2n+1，…（13分）
∴S_n＞．…（14分）
分析：（Ⅰ）令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，由x＜0，f（x）＞1，知a₁=f（0）=1，由递推关系知f（a_n+1-2-a_n）=f（0），由此能够推导出a_n．
（Ⅱ）由=，知=，=，所以，欲比较S_n与的大小，只需比较4ⁿ与2n+1的大小．
点评：本题考查数列通项公式的求法和比较S_n与的大小．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．