Question

已知y=f（x）定义在R上的单调函数，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．设数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求通项公式a_n的表达式；
（Ⅱ）令bn=(

1

2

)an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，试比较S_n与

4

3

Tn的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，由x＜0，f（x）＞1，知a₁=f（0）=1，由递推关系知f（a_n+1-2-a_n）=f（0），由此能够推导出a_n．
（Ⅱ）由bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1，知Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)2n-1=

1 2 [1-( 1 2 )2n]

1-( 1 2 )2

=

2

3

(1-

1

4n

)，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)，所以Sn-

4

3

Tn=

2

3

(1-

1

4n

)-

2

3

(1-

1

2n+1

)=

2

3

(

1

2n+1

-

1

4n

)=

2

3

•

4n-(2n+1)

(2n+1)•4n

，欲比较S_n与

4

3

Tn的大小，只需比较4ⁿ与2n+1的大小．

解答：解：（Ⅰ）由题意，令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴a₁=f（0）=1…（2分）
由递推关系知f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），
∵f（x）在R上单调，∴a_n+1-a_n=2，（n∈N*），…（4分）
又a₁=1，∴a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1，
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)2n-1=

1 2 [1-( 1 2 )2n]

1-( 1 2 )2

=

2

3

(1-

1

4n

)，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)，…（10分）Sn-

4

3

Tn=

2

3

(1-

1

4n

)-

2

3

(1-

1

2n+1

)=

2

3

(

1

2n+1

-

1

4n

)=

2

3

•

4n-(2n+1)

(2n+1)•4n

，
∴欲比较S_n与

4

3

Tn的大小，只需比较4ⁿ与2n+1的大小．…（11分）
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n⁰+C_n¹•3+…+C_nⁿ•3ⁿ≥1+3n＞2n+1，…（13分）
∴S_n＞

4

3

Tn．…（14分）

点评：本题考查数列通项公式的求法和比较S_n与

4

3

Tn的大小．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．