Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，求：
（1）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）法一：利用二倍角公式，两角和的正弦函数，化简函数为，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
法二：利用平方关系，两角和的正弦函数，化简函数为，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f（x）的单调增区间．
解答：解：（1）解法一：∵=2+sin2x+cos2x=（4分）
∴当，即时，f（x）取得最大值．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是． （8分）

解法二：∵f（x）=（sin²x+cos²x）+sin2x+2cos²x=1+sin2x+1+cos2x=（4分）
∴当，即时，f（x）取得最大值．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是（8分）

（2）解：
由题意得，即．
因此，f（x）的单调增区间是． （12分）
点评：本题考查三角函数的最值，正弦函数的单调增区间的求法，考查计算能力，基本知识掌握的熟练程度，高考常考题型．