Question

【题目】设，动圆C经过点，且被y轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C的轨迹为E．

Ⅰ求轨迹E的方程；

Ⅱ求证：在轨迹E上存在点A，B，使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】Ⅰ ，． Ⅱ详见解析。

【解析】

（I）通过被轴截得弦长和经过点，构造出圆心满足的方程，整理可得轨迹方程；（II）通过假设点坐标以及，可求得直线的方程，将方程与轨迹联立，可表示出点坐标；从而可表示出，再通过构造出函数，通过零点存在定理说明存在零点，从而得到存在，从而证得结论。

（I）设动圆圆心，半径为r，

圆C过点，，

圆C被y轴截得的弦长为2p，，

由，得，化简，得，，

轨迹E的方程为，．

（II）证明：设，，则OA的斜率，

，的斜率，

直线AB的方程为，

联立直线AB与抛物线E的方程，得：

，解得，

，

，

记，，，，则，，

记，，

由题意，记，，

，，

根据零点存在定理，存在，使得，从而，

当满足时，有，

此时是以A为直角顶点的等腰直角三角形，

在轨迹E上存在点A，B，使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形