Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an ， 求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn= ．求n．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，S1=a1=2﹣a1，所以a1=1．

当n≥2时，Sn﹣1=2﹣an﹣1，且Sn=2﹣an，

所以an=2（2﹣an）﹣（2﹣an﹣1）得：an= an﹣1，

则数列{an}是以1为首项， 为公比的等比数列，

∴数列{an}的通项公式是an=（ ）n﹣1

（2）解：由bn+1=bn+an，且an=（ ）n﹣1，

∴bn+1﹣bn=（ ）n﹣1，

则b2﹣b1=（ ）0，b3﹣b2=（ ）1，b4﹣b3=（ ）2，…，bn﹣bn﹣1=（ ）n﹣2，

以上n个等式叠加得：bn﹣b1=（ ）0+（ ）1+（ ）2+…+（ ）n﹣2= =2[1﹣（ ）n﹣1]

=2﹣ ，

∵b1=1，

∴bn=3﹣

（3）解：由题意知 ．

则Tn=4﹣ = ，

∵Tn+1﹣Tn=（4﹣ ）﹣（4﹣ ）= ﹣ = ＞0，

∴Tn＜Tn+1恒成立，

∵T6=4﹣ = ，

∴n=6．

【解析】（1）由已知条件推导出{an}是以1为首项， 为公比的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由bn+1=bn+an ， 且an=（ ）n﹣1 ． 知bn+1﹣bn=（ ）n﹣1 ， 由此利用叠加法能求出bn=3﹣ ．（3）根据已知条件推知Tn+1﹣Tn=（4﹣ ）﹣（4﹣ ）= ﹣ = ＞0，所以求得shiftTn＜Tn+1恒成立的n的值即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．