Question

【题目】已知函数，其中，，是自然对数的底数.

（1）若曲线在点处的切线为，求的值；

（2）求函数的极大值；

（3）设函数，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由题意得出，由此可求得实数的值；

（2）求得，对实数分、和三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值；

（3）分别证明不等式和，在证明不等式时，即证，构造函数，利用导数证明即可；在证明不等式，即证，只需令，利用导数证明出即可.

（1），，

直线可化为，，

由题意可得，即，解得；

（2）显然函数的定义域为，.

①当时，若时，；若时，.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

此时，函数没有极大值；

②当时，令，解得或，其中.

若或时，；若时，.

所以，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

此时，函数的极大值为；；

③当时，对任意的恒成立，则函数在上单调递增，没有极大值；

综上所述，当或，函数没有极大值；

当时，函数的极大值为；

（3）①要证，只要证.

令，则，令，可得.

当时，；当时，.

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，，即；

②要证，只要证，即.

由（2）知，当时，，

此时，函数在上单调递减，在上单调递增，

，.

综合①②，成立.