Question

已知点A(1，

2

)是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)上的一点．斜率为

2

的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

2

2

=

c

a

，

1

b2

+

2

a2

=1，能导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线BD的方程为y=

2

x+b，

y= 2 x+b 2x2+y2=4

?4x2+2

2

bx+b2-4=0，△=-8b²+64＞0，设d为点A到直线BD：y=

2

x+b的距离，由d=

|b|

3

，故S△ABD=

1

2

|BD|d=

2

4

(8-b2)b2

≤

2

，由此知当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为

2

．
（Ⅲ）设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，则k_AD+k_AB=

y1- 2

x1-1

+

y2- 2

x2-1

=

2 x1+b- 2

x1-1

+

2 x2+b- 2

x2-1

=2

2

+b[

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

]，由此能导出即k_AD+k_AB=0．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

2

2

=

c

a

，

1

b2

+

2

a2

=1，a²=b²+c²
∴a=2，b=

2

，c=

2

∴

x2

2

+

y2

4

=1（5分）
（Ⅱ）设直线BD的方程为y=

2

x+b∴

y= 2 x+b 2x2+y2=4

?4x2+2

2

bx+b2-4=0∴△=-8b²+64＞0?-2

2

＜b＜2

2

x1+x2=-

2

2

b，①x1x2=

b2-4

4

②∵|BD|=

1+( 2 )2

|x1-x2|=

3

△

4

=

3

64-8b2

4

=

6

2

8-b2

，
设d为点A到直线BD：y=

2

x+b的距离，∴d=

|b|

3

∴S△ABD=

1

2

|BD|d=

2

4

(8-b2)b2

≤

2

，
当且仅当b=±2时取等号．
因为±2∈(-2

2

，2

2

)，所以当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为

2

（10分）
（Ⅲ）设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，
则k_AD+k_AB=

y1- 2

x1-1

+

y2- 2

x2-1

=

2 x1+b- 2

x1-1

+

2 x2+b- 2

x2-1

=2

2

+b[

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

]*
将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得2

2

+b[

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

]=0，
即k_AD+k_AB=0（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．