Question

已知点A(1，

2

)是离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)上的一点．斜率为

2

的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点A(1，

2

)是离心率为

2

2

的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，计算出三角形的面积，利用基本不等式，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

2

2

=

c

a

，

1

b2

+

2

a2

=1，a²=b²+c²
∴a=2，b=

2

，c=

2

∴椭圆方程为

x2

2

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）设直线BD的方程为y=

2

x+b
由

y= 2 x+b 2x2+y2=4

，消去y可得4x2+2

2

bx+b2-4=0
∴x1+x2=-

2

2

b，x1x2=

b2-4

4

，
由△=-8b²+64＞0，可得-2

2

＜b＜2

2

∴|BD|=

1+( 2 )2

|x1-x2|=

3

△

4

=

3

64-8b2

4

=

6

2

8-b2

，
设d为点A到直线BD：y=

2

x+b的距离，∴d=

|b|

3

∴S△ABD=

1

2

|BD|d=

2

4

(8-b2)b2

≤

2

，
当且仅当b=±2∈(-2

2

，2

2

)时，△ABD的面积最大，最大值为

2

．…（12分）

点评：本小题主要考查椭圆的方程的求法，考查弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．