Question

已知数列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

，…，
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）直接计算
（2）由（1）猜想并进行证明

解答：解：（1）S1=

1

4

，S2=

2

7

，S3=

3

10

，S4=

4

13

（2）Sn=

n

3n+1

证明：①当n=1时，S1=

1

3×1+1

=

1

4

，结论成立
②假设当n=k时成立，结论成立，即Sk=

k

3k+1

当n=k+1时，Sk+1=Sk+ ak+1 =

k

3k+1

+

1

(3k+1)(3k+4)

=

k(3k+4)+1

(3k+1)(3k+4)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

∴当n=k+1时结论成立
∴对于任意的k∈N₊结论都成立

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．