Question

已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，f（）=0，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，5]上的零点个数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

Answer 1

【答案】分析：要求方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数，根据函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，）时f（x）=sinπx，我们不难得到一个周期函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．
解答：解：∵当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[-，]上，
f（-1）=f（1）=f（）=f（-）=0，f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数，
则方程f（x）=0在区间[0，5]上的解有0，1，，2，3，4，，5，共计8个，
故选B．
点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，函数的周期性，若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为7个，故要注意对端点的分析，属于中档题．