Question

10．已知f：（0，1）→R且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x∈Q}\\{\frac{p+1}{q}，x=\frac{p}{q}，（p，q）=1，0＜p＜q}\end{array}\right.$，当x∈（$\frac{7}{8}$，$\frac{8}{9}$）时，试求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 由x∈（$\frac{7}{8}$，$\frac{8}{9}$）时，可得x∈Q，当x=$\frac{p}{q}$，函数的最值情况，即可得到最大值．

解答 解：由x∈（$\frac{7}{8}$，$\frac{8}{9}$）时，
可得x∉Q，f（x）=x＜$\frac{8}{9}$，
当x=$\frac{p}{q}$，且为x=$\frac{15}{17}$时，
f（x）=$\frac{15+1}{17}$=$\frac{16}{17}$＞$\frac{8}{9}$，
即有f（x）的最大值为$\frac{16}{17}$．

点评 本题考查分段函数的最值的求法，注意考虑各段的情况，属于中档题．