Question

5．若函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c＞0）没有零点，则$\frac{a+c}{b}$的取值范围是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题意知△=b²-4ac＜0，从而可得$\frac{a+c}{b}$＞$\frac{a+c}{2\sqrt{ac}}$，再结合基本不等式可得$\frac{a+c}{b}$的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c＞0）没有零点，
∴△=b²-4ac＜0，
∴b＜2$\sqrt{ac}$，
$\frac{a+c}{b}$＞$\frac{a+c}{2\sqrt{ac}}$≥$\frac{2\sqrt{ac}}{2\sqrt{ac}}$=1，
（当且仅当a=c时，等号成立）；
故$\frac{a+c}{b}$的取值范围是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数与二次方程的关系应用及基本不等式的应用，属于中档题．