Question

7．已知函数f（x）=sin2x-|sinx|-|cosx|（x∈R），则f（x）的值域为[-1-$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设|sinx|+|cosx|=t，两边平方即可得到|sin2x|=t²-1，从而可求出t的范围$[1，\sqrt{2}]$，讨论sin2x＞0时，得到函数t²-t-1，根据该二次函数的单调性即可求出该函数在$[1，\sqrt{2}]$上的取值范围，即求出了f（x）此时的范围，同理可求出sin2x＜0时f（x）的取值范围，这两个取值范围求并集即得f（x）的值域．

解答 解：设|sinx|+|cosx|=t，则：
|sinx|²+|2sinxcosx|+|cosx|²=t²；
∴|sin2x|=t²-1；
∴0≤t²-1≤1，t＞0；
∴$1≤t≤\sqrt{2}$；
①当sin2x＞0时，将原函数变成关于t的函数g（t）=t²-t-1；
g（t）在$[1，\sqrt{2}]$上单调递增；
∴$g（1）≤g（t）≤g（\sqrt{2}）$；
∴$-1≤g（t）≤1-\sqrt{2}$；
②当sin2x＜0时，将原函数变成关于t的函数h（t）=-t²-t+1；
h（t）在$[1，\sqrt{2}]$上单调递减；
∴$h（\sqrt{2}）≤h（t）≤h（1）$；
∴$-1-\sqrt{2}≤h（t）≤-1$；
∴综上得f（x）的值域为[$-1-\sqrt{2}$，$1-\sqrt{2}$]．
故答案为：$[-1-\sqrt{2}，1-\sqrt{2}]$．

点评 考查二倍角的正弦公式，sin²x+cos²x=1，以及换元求函数值域的方法，二次函数的单调性，根据二次函数的单调性求函数值域．