Question

【题目】已知函数.

（1）设 ，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；

（2）设 ，对任意，有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)或.(2).

【解析】分析：（1）先求出，再求出，再利用导数分析函数的单调性和零点,得到a的取值范围.(2)先把命题转化为，再利用导数求函数的最大值和最小值代入可得实数的取值范围.

详解：（1）函数的定义域为，∴.

①当时，，所以在上单调递增，

取，则，

（或：因为且时，所以 .）因为，所以，此时函数有一个零点.

②当时，令，解得.当时，，

所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增.

要使函数有一个零点，则，即，.

综上所述，若函数恰有一个零点，则或.

（2）因为对任意，有成立，

因为 ，所以.

所以，所以.

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，，

∵与，所以.

设 ，

则，

所以在上单调递增，故，

所以.从而.

所以即,

设，则.当时，，

所以在上单调递增.又，

所以，即，解得.因为，

所以的取值范围为.