Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中AD∥BC，DA⊥AB，AD＝2，AB＝BC＝1，CD，点E为PD中点.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）若PA＝2，PD＝2，∠PAB，求平面PBD与平面ECD所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取AP的中点F，连接EF，FB，证明平行四边形EFBC，得到证明.

（2）以A为原点，以AP为x轴，过A垂直于AP的直线为y轴，以AD为z轴建立空间直角坐标系，平面PBD的法向量为，平面ECD的法向量为，计算夹角得到答案.

（1）取AP的中点F，连接EF，FB，则EF∥AD，且EF，

由AD∥BC，且BC，故EF∥BC，且EF＝BC，

故平行四边形EFBC，由EC平面PAB，BF平面PAB，

故EC∥平面PAB；

（2）PA＝2，PD＝2，AD＝2，所以AD⊥AP，由DA⊥AB，易知AD⊥平面PAB，

以A为原点，以AP为x轴，过A垂直于AP的直线为y轴，以AD为z轴建立空间直角坐标系，

P（2，0，0），B（，0），D（0，0，2），C（），E（1，0，1），

设平面PBD的法向量为，，

由，得，

设平面ECD的法向量为，，，

由，得，

由cos，

故平面PBD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为.