Question

已知函数f（x）=x-

1

2

ax2-ln（1+x），其中a∈R
（I）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）令f'（2）=0，解得a，再验证是否符合函数取得极值的充分条件即可；
（II）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出．

解答：解：（I）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，x∈（-1，+∞）
依题意，令f'（2）=0，解得a=

1

3

，
经检验，当a=

1

3

时，x=2是f（x）的极值点．
∴a=

1

3

（II）①当a=0时，f′(x)=

x

x+1

故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
②当a＞0时，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1
当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	+
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（0，

1

a

-1）；单调增区间是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）．
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）
当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1+∞）
f'（x）	-	0	+	0	+
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的单调增区间是（

1

a

-1，0）；单调减区间是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．
③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（-1，0）．
综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（-1，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的增区间是（0，

1

a

-1），减区间是（-1，0）和（

1

a

-1，+∞）；
当a=1时，f（x）的减区间是（-1，+∞）；
当a＞1时，f（x）的增区间是（

1

a

-1，0）；减区间是（-1，

1

a

-1）和（0，+∞）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．