Question

已知函数f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
（Ⅰ）求实数a、b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x∈[-

1

2

，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．则f（0）=1，f'（0）=0，可求实数a、b的值；f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）求出函数的导数f′（x），然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（Ⅱ）由题意当 x∈[-

1

2

，e-1]时，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）x+1＞0得 f（x）的定义域为（-1，+∞）f′(x)=2x+a-

2

x+1

∵函数f（x）=x²+ax+b-2ln（x+1）在x=0处取到极小值1．
∴f（0）=1，f'（0）=0∴a=2，b=1…（5分）
∴f（x）=x²+2x+1-2ln（x+1）
f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=2[(1+x)-

1

1+x

]＞0⇒

x2+2x

1+x

＞0⇒x＞0
f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=2[(1+x)-

1

1+x

]＞0⇒

x2+2x

1+x

＜0⇒-1＜x＜0，
所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间（-1，0）．         …（10分）
（Ⅱ）当x∈[-

1

2

，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
令f^′（x）=0⇒（1+x）²=1⇒x=0或x=-2（舍）f(-

1

2

)=

1

4

+2ln2，f（0）=1，f（e-1）=e²-2＞f(-

1

2

)
∴当x∈[-

1

2

，e-1]时，f（x）_max=f（e-1）=e²-2
因此可得：不等式f（x）＜m恒成立时，m＞e²-2…（15分）

点评：本题意函数的极值为载体，主要考查函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力