题目内容

已知函数f（x）=2sin²（ $数学公式$ +x）- $数学公式$ cos2x，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）当x $数学公式$ 时，求f（x）的最大值和最小值．

解：（Ⅰ）∵f（x）=[1-cos（ $\text{[math]}$ +2x）]- $\text{[math]}$ cos2x
=1+sin2x- $\text{[math]}$ cos2x
=1+2sin（2x- $\text{[math]}$ ）…（4分）
∴最小正周期T=π…（5分）
由 $\text{[math]}$ +2kπ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z
得 $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
∴单调递减区间为[ $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ]k∈Z…（8分）
（2）∵x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
即2≤1+2sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．…（12分）
分析：（Ⅰ）由两角和与差的正弦函数将f（x）=[1-cos（ $\text{[math]}$ +2x）]- $\text{[math]}$ cos2x化为f（x）=1+2sin（2x- $\text{[math]}$ ），利用正弦函数的性质即可求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）由x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，可求得2x- $\text{[math]}$ 的范围，从而可得f（x）的最大值和最小值．
点评：本题考查两角和与差的正弦，考查辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的性质，属于中档题．