Question

△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列，且cosB=.

(Ⅰ)求cotA+cotC的值；

(Ⅱ)设·=,求a+c的值.

Answer 1

分析：a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且a,b,c成等比数列，易知求解中要用到正弦定理；求cotA+cotC的值，首先应该对其适当变形，变形时，既可用同角三角函数的关系式，也可用三角形的边角关系，然后根据变形后的具体形式计算.第(Ⅱ)问涉及平面向量的数量积，可以先得到ac的值，再由余弦定理计算出a²+c²,即可得a+c的值.

解法1：(Ⅰ)由cosB=得sinB

==.

    由b²=ac及正弦定理得  sin²B=sinAsinC,

    于是cotA+cotC

=+=+

==

=.

(Ⅱ)由·=得  ca·cosB=.

    由cosB=，可得ca=2,即b²=2.

    由余弦定理  b²=a²+c²-2ac·cosB,

    得a²+c²=b²+2ac·cosB=5,

(a+c)²=a²+c²+2ac=5+4=9,

    所以a+c=3.

解法2：(Ⅰ)由cosB=得sinB

==.

    由a,b,c成等比数列知  b²=ac,

    由正弦定理得sin²B=sinAsinC.

    如下图，AC边上的高为BD.

cotA+cotC=+=.

    又BD=csinA=asinC,

    则BD²=acsinAsinC=b²sin²B,

    因此cotA+cotC==.

(Ⅱ)由·=得cacosB=得，则ac=2.

    由余弦定理b²=a²+c²-2accosB,

    且b²=ac,

    所以ac=a²+c²-3,

(a+c)²=a²+c²+2ac=3ac+3=9.

    则a+c=3.