Question

已知函数f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
(1)求b的值      (2)求f(2)的取值范围

Answer 1

(1) b＝0(2)

解析试题分析：(1)由，得：，根据题设可判定，从而解得；
(2)由（1）知：，由，所以，
因为函数在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点，所以的零点，得到函数解析式所剩唯一参数的取值范围，进而可求的取值范围.
试题解析：
(1)∵f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c，
∴f ′(x)＝－3x²＋2ax＋b.     3分
∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，
∴当x＝0时，f(x)取到极小值，即f ′(0)＝0，
∴b＝0.      6分
(2)由(1)知，f(x)＝－x³＋ax²＋c，
∵1是函数f(x)的一个零点，即f(1)＝0，∴c＝1－a.
∵f′(x)＝－3x²＋2ax＝0的两个根分别为x₁＝0，x₂＝.     9分
又∵f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，
∴应是f(x)的一个极大值点，因此应有x₂＝>1，即a>.
∴f(2)＝－8＋4a＋(1－a)＝3a－7>.
故f(2)的取值范围为.     13分
考点：导数在研究函数性质中的应用.