Question

在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=    ．

Answer 1

【答案】分析：因为AB=2，BC=3，∠ABC=60°，所以=•cos120°=-3，再根据O为AD的中点，且=λ+μ，可得=2λ+2μ，从而=-6λ+18μ=0，得λ=3μ．接下来利用=-，结合与是共线向量，可算得λ=，代入上式得μ=，最终得到λ+μ的值为．
解答：解：∵AB=2，BC=3，∠ABC=60°，
∴=•cos120°=-3
∵O为AD的中点，=λ+μ，
∴=2=2λ+2μ，
可得=（2λ+2μ）•=2λ•+2μ²=-6λ+18μ
∵AD为BC边上的高，与互相垂直
∴=0，即-6λ+18μ=0，得λ=3μ…①
又∵=2λ+2μ，=-
∴=（2λ-1）+2μ，
而与是共线向量，可得2λ-1=0，所以λ=，再代入①，得μ=
∴λ+μ的值为
故答案为．
点评：本题给出一个特殊的三角形ABC，一条高线AD中点为O，要我们将向量表示为、的线性组合的形式，着重考查了平面向量平行与共线的充要条件及其表示式，属于基础题．