题目内容

椭圆C₁： $数学公式$ 与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M，抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（Ⅰ）若M $数学公式$ ，求C₁和C₂的标准方程；
（II）求椭圆C₁离心率的取值范围．

解：（Ⅰ）把M $\text{[math]}$ 代入C₂：x²=2py（p＞0）得 $\text{[math]}$ ，
故C₂： $\text{[math]}$ （2分）
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，从而C₂在点M处的切线方程为 $\text{[math]}$ （3分）
令y=0有x=1，F（1，0），（4分）
又M $\text{[math]}$ 在椭圆C₁上
所以 $\text{[math]}$ ，解得a²=5，b²=4，故C₁： $\text{[math]}$ （6分）
（Ⅱ）设M $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
从而C₂在点M处的切线方程为 $\text{[math]}$ （8分）
设F（c，0），代入上式得x₀=2c，
因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ （10分）
又x₀²=2py₀，所以 $\text{[math]}$ ，（11分）
从而4b²＞3a²，即4c²＜a²， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以椭圆C₁离心率的取值范围为 $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（Ⅰ）先根据M在抛物线C₂上，求出抛物线方程，进而得到C₂在点M处的切线方程求出右焦点F的坐标，再结合M在椭圆C₁上即可求出椭圆C₁的标准方程；
（II）先设M $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，进而得到C₂在点M处的切线方程求出右焦点F的坐标；再结合M在椭圆C₁上以及p＞0求出a，b之间的关系即可得到椭圆C₁离心率的取值范围．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．其中涉及到抛物线以及椭圆标准方程的求法，考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．