Question

如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？

Answer 1

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．

方法一：

（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，

又为矩形，

所以，从而四边形为平行四边形，

故．

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得

平面，

从而．

所以为二面角的平面角．

在中，因为，，所以，．

又因为，所以，

从而．

于是．

因为，

所以当为时，二面角的大小为．

方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．

设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因为，，

所以，，从而

解得．

所以，．

设与平面垂直，

则，

解得．

又因为平面，，

所以，

得到．

所以当为时，二面角的大小为．