题目内容

已知函数f （x）=2sinωx•cos（ωx+ $数学公式$ ）+ $数学公式$ （ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）求正实数ω的值；
（2）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，求f （B）的值．

解：（1）∵f（x）=2sinωx（cosωx•cos $\text{[math]}$ -sinωx•sin $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sinωxcosωx-sin²ωx+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2ωx- $\text{[math]}$ （1-cos2ωx）+ $\text{[math]}$ =sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）．
又f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =4π，则ω= $\text{[math]}$ ．
（2）由sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1得到sin²2B+sin2BsinB-2sin²B=0
所以（sin2B+2sinB）（sin2B-sinB）=0
∴sin2B+2sinB=0或sin2B-sinB=0
∵△ABC为锐角三角形
∴cosB= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
由（1）f（x）=sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），从而f（B）=sin（ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用三角函数的两角和展开，二倍角公式化简，求出函数为一个角的一个三角函数的表达式，利用周期公式求正实数ω的值；
（2）化简sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，利用三角形是锐角三角形，求出B的值，然后求f （B）的值．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期，注意三角形条件的应用，考查计算能力．