Question

把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．
（1）43251是这个数列的第几项？
（2）这个数列的第96项是多少？
（3）求这个数列的各项和．

Answer 1

分析：（1）先考虑大于43251的数，利用间接法求解；
（2）1、2、3、4开头的五位数共有96个，所以第96项是4开头最大的数，即可得到结论；
（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）•A•10000；同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以可求这个数列各项和．

解答：解：（1）先考虑大于43251的数，分为以下三类
第一类：以5打头的有：

A

4 4

=24
第二类：以45打头的有：

A

3 3

=6
第三类：以435打头的有：

A

2 2

=2…（2分）
故不大于43251的五位数有：

A

5 5

-(

A

4 4

+

A

3 3

+

A

2 2

)=88（个）
即43251是第88项．…（4分）
（2）1开头的五位数有

A

4 4

=24；2开头的五位数有

A

4 4

=24；3开头的五位数有

A

4 4

=24；4开头的五位数有

A

4 4

=24；
所以1、2、3、4开头的五位数共有96个
所以第96项是4开头最大的数，即45321．…（8分）
（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A个五位数，
所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）•A•10000…（10分）
同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以这个数列各项和为：
（1+2+3+4+5）•A•（1+10+100+1000+10000）=15×24×11111=3999960…（12分）

点评：本题考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．