Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，则过原点的直线中，被圆C所截得的最长弦与最短弦的长度之和为（　　）

• A．10+4

  5

• B．10+2

  5

• C．5+4

  5

• D．5+2

  5

Answer 1

分析：由题意可得：所以原点（0，0）在圆C：x²+y²-2x-4y-20=0的内部，并且得到圆的圆心为（1，2），半径为5．过原点的直线中，被圆C所截得的最长的弦过圆的圆心，可得弦长为10．过原点的直线中，被圆C所截得的最短的弦与原点圆心连线垂直，可得最短弦的长度为：4

5

．

解答：解：由题意可得：所以原点（0，0）在圆C：x²+y²-2x-4y-20=0的内部．
由圆的一般方程可得圆C的标准方程为：（x-1）²+（y-2）²=25，
所以圆的圆心为（1，2），半径为5．
过原点的直线中，被圆C所截得的最长的弦过圆的圆心，
所以此时弦长等于圆的直径，即弦长为10．
过原点的直线中，被圆C所截得的最短的弦与原点圆心连线垂直，
此时圆心到弦的距离即为圆心到原点的距离，其长度为

5

，
因为圆的半径为5，
所以最短弦的长度为：2

52-5

=4

5

，
所以被圆C所截得的最长弦与最短弦的长度之和为10+4

5

．
故选A．

点评：此题主要考查直线与圆的位置关系，以及考查圆的一般方程与标准方程之间的相互转化，考查学生的运算能力与分析问题解决问题的能力．