Question

若函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且f(x)极小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）设函数g(x)=

f(x)

x2

，若不等式g(x)•g(2k-x)≥(

1

k

-k)2在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数得到b=d=0；再根据f(x)极小值=f(-

3

3

)=-

2 3

9

列出关于a，c的等式，求出a，c的值即可得到函数f（x）的解析式；
（2）求出其导函数，找到其极值点，画出函数的大致图象；通过讨论m和极值点比较即可得到函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
（3）先把所求函数转化为F（x）=g（x）•g（2k-x）=

1-4k2

t

+t+2，通过讨论1-4k²和0的大小关系求出函数的单调性，再结合所问问题即可求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，则b=d=0，
∴f′（x）=3ax²+c，则

f/(- 3 3 )=a+c=0 f(- 3 3 )=- 3 a 9 - 3 c 3 =- 2 3 9

⇒

a=-1 c=1

故f（x）=-x³+x；…（4分）

（2）∵f′（x）=-3x²+1=-3（x+

3

3

）（x-

3

3

）
∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是增函数，在[-

3

3

，

3

3

]上是减函数，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如图所示，当-1＜m＜0时，
f（x）_max=f（-1）=0；
当0≤m＜

3

3

时，f（x）_max=f（m）=-m³+m，
当m≥

3

3

时，f（x）_max=f（

3

3

）=

2 3

9

．
故f（x）_max=

0                  -1＜m＜0 -m3+m           0≤m＜ 3 3 2 3 9             m≥ 3 3

…（9分）
（3）g（x）=（

1

x

-x），令y=2k-x，则x、y∈R⁺，且2k=x+y≥2

xy

，
又令t=xy，则0＜t≤k²，
故函数F（x）=g（x）•g（2k-x）=（

1

x

-x）（

1

y

-y）=

1

xy

+xy-

x2+y2

xy

=

1

xy

+xy-

(x+y)2-2xy

xy

=

1-4k2

t

+t+2，t∈（0，k²]
当1-4k²≤0时，F（x）无最小值，不合
当1-4k²＞0时，F（x）在（0，

1-4k2

]上递减，在[

1-4k2

，+∞）上递增，
且F（k²）=（

1

k

-k）²，
∴要F（k²）≥（

1

k

-k）²恒成立，
必须

k＞0 1-4k2＞0 k2≤ 1-4k2

⇒

0＜k＜ 1 2 k≤ 5 -2

⇒0＜k＜

5 -2

，
故实数k的取值范围是（0，

5 -2

）]．…（14分）

点评：本题主要考查了函数的极值点，利用导数求闭区间上函数的最值以及用导数法研究函数的单调性及求函数的单调区间，是对导数知识的综合考查．