题目内容

①命题“对任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“存在x∈R，x³-x²+1＞0”；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个；
③若函数f（x）=x²-|x+a|为偶函数，则实数a=0；
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

-x

sinxdx；
⑤若函数f（x）=

ax-5(x＞6)

(4-

)x+4(x≤6)

，在R上是单调递增函数，则实数a的取值范围为（1，8）．
其中真命题的序号是

①③

（写出所有正确命题的编号）．

分析：①根据含有量词的命题的否定进行判断．②利用根的存在性定理进行判断．③根据函数奇偶性的定义进行判断．④根据积分的应用求面积．⑤根据分段函数的单调性进行判断．

解答：解：①根据全称命题的否定是特称命题可知，命题“对任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“存在x∈R，x³-x²+1＞0”，∴①正确．
②由f（x）=2^x-x²=0，得2^x=x²，由函数y=2^x和y=x²的图象可知，函数存在3个零点，∴②错误．

③若函数f（x）=x²-|x+a|为偶函数，则f（-x）=f（x），即|-x+a|=|x+a|，解得a=0，∴③正确．
④根据积分的应用可知，函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

-x

|sinx|dx，∴④错误．
⑤要使函数f（x）单调递增，则满足

a＞1

＞0

a≥(4-

)×6+4

，即

a＞1

a＜8

4a≥20

，解得5≤a＜8，∴⑤错误．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查函数性质的综合应用，涉及的知识点较多，综合性较强．

练习册系列答案

学习总动员期末加暑假光明日报出版社系列答案

命题：“对任意的x∈R，x²-2x-3≤0”的否定是

命题：“对任意的x∈R，x³－x²＋1≤0”的否定是。

命题：“对任意的x∈R，”的否定是（）

(A) 不存在（B）存在

命题：“对任意的x∈R，x2-2x-3≤0”的否定是