Question

已知函数f(t)=log2t，t∈[

2

，8]
（1）求f（t）的值域G
（2）若对G内的所有实数x，不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(t)=log2t，t∈[

2

，8]的单调性可求其值域G；
（2）x∈G=[

1

2

，3]，不等式-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立可转化为x²-2mx+m²-2m+1≥0恒成立（x∈[

1

2

，3]），令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1，其对称轴x=m，分区间在对称轴左侧（包括边界），右侧（包括边界），对称轴穿过[

1

2

，3]，三种情况利用函数的单调性及最值讨论解决．

解答：解：（1）∵函数f(t)=log2t，t∈[

2

，8]，
∴

1

2

≤ f(t)  ≤3即G=[

1

2

，3]，
（2）-x²+2mx-m²+2m≤1恒成立?x²-2mx+m²-2m+1≥0恒成立，
令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1
当m≤

1

2

时   

m≤ 1 2 g( 1 2 )≥0

∴m≤

1

2

当

1

2

＜m＜3时  

1 2 ＜m＜3 g(m)≥0

∴m无解
当m≥3时   

m≥3 g(3)≥0

∴m≥4+

6

综上：m≤

1

2

或m≥4+

6

．

点评：本题考查函数恒成立问题，解决的关键是明确其对称轴在给定区间的什么位置，借助其单调性解决，属于中档题．