Question

①．已知函数f（t）=|t+1|-|t-3|．则f（t）＞2的解为

t＞2

②．在直角坐标系中，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，则直线l被曲线C所截得的弦长为

7

5

．

Answer 1

分析：①通过分类讨论，将f（t）中的绝对值符号去掉，解不等式组即可；
②将直线l的参数方程与圆的极坐标方程转化为普通方程，由弦长公式即可求得直线l被曲线C所截得的弦长．

解答：解：①∵f（t）=|t+1|-|t-3|=

-4，t≤-1 2t-2，-1＜t＜3 4，t≥3

，
若-1＜t＜3，f（t）＞2?2t-2＞2?t＞2，
∴2＜t＜3；
若t≥3，f（t）=4＞2恒成立，
∴t≥3，
综上所述，f（t）＞2的解为t＞2；
②由

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

得：3x+4y+1=0，
又曲线C的极坐标方程为ρ=

2

cos（θ+

π

4

）=

2

（

2

2

cosθ-

2

2

sinθ）=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ，即x²+y²=x-y．
∴(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．曲线C是以（

1

2

，-

1

2

）为圆心，

2

2

为半径的圆．
∵圆心（

1

2

，-

1

2

）到直线l：3x+4y+1=0的距离d=

|3× 1 2 +4×(- 1 2 )+1|

5

=

1

10

＜

2

2

=r，
设直线l被曲线C所截得的弦长为L，则r²=d²+(

L

2

)2，即

1

4

L²=

1

2

-

1

100

=

49

100

，
∴L=

7

5

．
故答案为：t＞2；

7

5

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查简单曲线的极坐标方程与直线的参数方程，考查转化思想与运算能力，属于中档题．