题目内容

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

解：（I）函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x-（a+2）x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（2分）
①当a≤0，即 $\text{[math]}$ 时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），
令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
②当 $\text{[math]}$ ，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得 $\text{[math]}$ 或x＞1，
函数f（x）的单调递增区间为 $\text{[math]}$ ，（1，+∞）．
令f'（x）＜0，得 $\text{[math]}$ ，函数f（x）的单调递减区间为 $\text{[math]}$ ．
③当 $\text{[math]}$ ，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），f（x）在（1，2]单调递增．
所以f（x）在（0，2]上的最小值为f（1）=a+1，
由于 $\text{[math]}$ ，
要使f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，
需满足f（1）=0或 $\text{[math]}$ 解得a=-1或a＜- $\text{[math]}$ ．
②当0＜a≤2时，由（Ⅰ）可知，
（ⅰ）当a=2时，函数f（x）在（0，2]上单调递增；
且 $\text{[math]}$ ，所以f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．
（ⅱ）当0＜a＜2时，函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在（1，2]上单调递增；
又因为f（1）=a+1＞0，所以当 $\text{[math]}$ 时，总有f（x）＞0．
因为e $\text{[math]}$ ＜1＜a+2，
所以f（e $\text{[math]}$ ）=e $\text{[math]}$ [e $\text{[math]}$ -（a+2）]+（alne $\text{[math]}$ +2a+2）＜0．
所以在区间（0， $\text{[math]}$ ）内必有零点．又因为f（x）在（0， $\text{[math]}$ ）内单调递增，
从而当0＜a≤2时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．
综上所述，0＜a≤2或a＜- $\text{[math]}$ 或a=-1时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．…（13分）
分析：（I）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．
（II）此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）在区间（0，2]内有且只有一个零点的条件，结合（I）中确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值，再转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．
点评：此题考查的是利用导数研究函数的单调性，函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了等价转化的思想，以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．