Question

附加题：已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（1）求S_n；
（2）求证：当n≥4时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²．

Answer 1

分析：（1）由于与二项式有关，故可采用赋值法．取x=1，则a₀=2ⁿ；取x=2，则a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，从而可求S_n；
（2）要证S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²，只需证3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，再利用数学归纳法加以证明．

解答：解：（1）取x=1，则a₀=2ⁿ；
取x=2，则a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-2ⁿ；         （4分）
（2）要证S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²，只需证3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
①当n=4时，81＞80；
②假设当n=k（k≥4）时，结论成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
两边同乘以3 得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1时结论也成立，
由①②可知，当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
综上原不等式获证．（10分）

点评：本题以二项式为载体，考查赋值法的运用，考查数学归纳法，解题的关键是先分析转化，再利用数学归纳法证明．