题目内容

已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且当x＞0，f(x)＜0．

(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并证明之；

(Ⅱ)判断f(x)的单调性，并证明之．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)函数为奇函数　　2分

　　因为函数的定义域为R，而在中，令为，

　　则有　　4分

　　又将都取0代入得，即：

　　又由在R中的任意性可知，函数为奇函数　　6分

　　(Ⅱ)函数在R上为单调减函数　　8分

　　因为在R上任取，且令

　　由

　　　　10分

　　又由题可知当＞0，，故，从而，

　　这样就说明了函数在R上为单调减函数　　12分


练习册系列答案
相关题目
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

已知函数f(x)＝则f(f(x))＝________；

下面三个命题中，所有真命题的序号是________．

①函数f(x)是偶函数；

②任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对x∈R恒成立；

③存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))使得△ABC为等边三角形．

若实数x、y、m满足|x－m|＞|y－m|，则称x比y远离m．

(1)若x2－1比1远离0，求x的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3＋b3比a2b＋ab2远离2ab；

(3)已知函数f(x)的定义域．任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)．

若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m．

(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；

(3)已知函数f(x)的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．
若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m，
(Ⅰ)若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
(Ⅱ)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；
(Ⅲ)已知函数f(x)的定义域D={x|x≠，k∈Z，x∈R}，任取x∈D，f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质(结论不要求证明)．

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