题目内容
已知函数f（x）=-x3+ax-4（a∈R）．
（1）若a=2，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．
（1）若a=2，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围．
分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求出导函数的零点，由零点对[-1，1]分段后分析单调性，并求出极值，和端点值比较后得f（x）在[-1，1]上的最小值；
（2）求出原函数的导函数，分a小于等于0和a大于0进行讨论，当a大于0时求出原函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0求得a的取值范围．
（2）求出原函数的导函数，分a小于等于0和a大于0进行讨论，当a大于0时求出原函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0求得a的取值范围．
解答：解：（1）当a=2时，f（x）=-x3+2x2-4，f′（x）=-3x2+4x．
令f′（x）=0，得x1=0，x2=
．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴当x∈[-1，1]时，f（x）最小值为f（0）=-4；
（2）∵f′(x)=-3x(x-
)．
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0；
②若a＞0，则当0＜x＜
时，f′（x）＞0，∴f（x）在(0，
)上单调递增；
当x＞
时，f′（x）＜0，∴f（x）在在(
，+∞)上单调递减．
∴当x∈（0，+∞）时，fmax(x)=f(
)=-
+
-4=
-4．
根据题意，得
-4＞0，∴a＞3．
综上，a的取值范围是（3，+∞）．
令f′（x）=0，得x1=0，x2=
| 4 |
| 3 |
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | -1 | （-1，0） | 0 | （0，1） | 1 |
| f′（x） | -7 | - | 0 | + | 1 |
| f（x） | -1 | ↘ | -4 | ↗ | -3 |
（2）∵f′(x)=-3x(x-
| 2a |
| 3 |
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0；
②若a＞0，则当0＜x＜
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
当x＞
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
∴当x∈（0，+∞）时，fmax(x)=f(
| 2a |
| 3 |
| 8a3 |
| 27 |
| 4a3 |
| 9 |
| 4a3 |
| 27 |
根据题意，得
| 4a3 |
| 27 |
综上，a的取值范围是（3，+∞）．
点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于把存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0转化为函数在区间上的最大值大于0求解，是有一定难度题目．
练习册系列答案
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|