Question

（1）已知tanθ=2，求

1+sin2θ

cos2θ

的值；
（2）已知若-

π

2

＜x＜0，

2

sin(x+

π

4

)=

1

5

，求sinx的值．

Answer 1

分析：（1）把分子展开倍角公式，运用平方关系变为完全平方式，分母展开倍角的余弦，约分后分子分母同时除以
cosθ，化为切函数后代值运算；
（2）由已知求出cos（x+

π

4

），把x化为（x+

π

4

）-

π

4

，展开两角差的正弦即可得到答案．

解答：解：（1）∵tanθ=2，
∴

1+sin2θ

cos2θ

=

sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ

cos2θ-sin2θ

=

(sinθ+cosθ)2

(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)

=

sinθ+cosθ

cosθ-sinθ

=

tanθ+1

1-tanθ

=

2+1

1-2

=-3；
（2）由

2

sin(x+

π

4

)=

1

5

，得sin(x+

π

4

)=

2

10

．
∵-

π

2

＜x＜0，∴-

π

4

＜x+

π

4

＜

π

4

，
则cos(x+

π

4

)=

1-sin2(x+ π 4 )

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

．
∴sinx=sin[(x+

π

4

)-

π

4

]=sin(x+

π

4

)cos

π

4

-cos(x+

π

4

)sin

π

4

=

2

10

×

2

2

-

7 2

10

×

2

2

=-

3

5

．

点评：本题考查了二倍角的正弦，考查了两角差的三角函数，训练了配角思想方法，是中档题．