题目内容

在平面直角坐标系中，若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设 $数学公式$ ，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
所以动点M到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离的和为8．
所以轨迹C以F₁（0，-2），F₂（0，2）为焦点的椭圆，
方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）为直线l过点（0，3）．
若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．
$\text{[math]}$ ，
所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由 $\text{[math]}$ ，
由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．
由韦达定理 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，
所以OAPB是平行四边形．
若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，
则OA⊥OB，即 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
所以 $\text{[math]}$
机 $\text{[math]}$ ，
故存在直线 $\text{[math]}$ ，使得四边形OAPB为矩形．
分析：（1）因为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．所以动点M到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离的和为8．由此能求出动点M（x，y）的轨迹C的方程．
（2）若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点． $\text{[math]}$ ，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．由韦达定理 $\text{[math]}$ ．因为 $\text{[math]}$ ，所以OAPB是平行四边形．由此能够导出存在直线 $\text{[math]}$ ，使得四边形OAPB为矩形．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．易错点是计算量大，容易出错．