Question

（理科做） 用数学归纳法证明：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

．

Answer 1

分析：用数学归纳法进行证明，先证明当n=1时，等式成立．再假设当n=k时等式成立，进而证明当n=k+1时，等式也成立；

解答：证明：（1）当n=1时，左=

1

3

=右，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，
即

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

，
当n=k+1时，左边=

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

．
∴当n=k+1时，等式也成立．
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．