题目内容

一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.

解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).

则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.

因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,

所以解得

所以所求的圆的方程为(x+)2+(y)2=.

解法二：由题意得圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(,),

所以弦OP的垂直平分线方程为y=(x),即x+3y-5=0.

因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上,

所以由解得,即圆心坐标为C(,).

又因为圆的半径r=|OC|==,

所以所求的圆的方程为(x+)2+(y)2=.

点评:圆的标准方程中有a、b、r三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量,有时可用待定系数法.要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.

练习册系列答案
相关题目
以下四个命题：
①已知A、B为两个定点，若|PA|+|PB|=k（k为常数），则动点P的轨迹为椭圆．
②双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点．
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，则动点P的轨迹为椭圆；
其中真命题的序号为
②③
②③
．
以下关于圆锥曲线的四个命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹是双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，则动点P的轨迹是圆（点A除外）；
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④到定点（1，0）的距离比到y轴的距离大1的动点P的轨迹是抛物线．
其中真命题的序号为
②③
②③
（写出三友真命题的序号）．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（
3
，
3
2
），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（
x0
a
，
y0
b
）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C1的方程为（x+2a）2+y2=a2，圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论；
（Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点，若点H、J的“伴随点”分别是L、Q，且以LQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OHJ的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
（2012•黄浦区一模）已知两点A（-1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
2
倍后得到点Q（x，
2
y）满足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；
（2）过点B作斜率为-
2
2
的直线l交曲线C于M、N两点，且满足
OM
+
ON
+
OH
=
0
，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．

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