题目内容
如图所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证:MN∥平面PAD；
（2）求证:MN⊥CD；
（3）若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
思路解析：要证明线面平行,可以围绕着线面平行的判定定理,转而去证明相关的线线平行,而已知条件中出现了一些线段的中点,联想到平面几何中的相关定理,从而将问题解决.要证明线线垂直,不难想到利用已知中的线面垂直关系而达到目的.
证明：（1）取PD的中点E,连结AE、EN,则有EN∥CD∥AB∥AM,EN=
CD=
AB=AM.
故四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE.
又AE
平面PAD,MN平面PAD,所以MN∥平面PAD.
（2）由PA⊥平面ABCD,得PA⊥AB.
又AD⊥AB，所以AB⊥平面PAD.
AB⊥AE,即AB⊥MN.
又CD∥AB,所以MN⊥CD.
（3）因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD.
又∠PDA=45°,E为PD的中点,
∴AE⊥PD,即MN⊥PD.
又MN⊥CD,故MN⊥平面PCD.
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