题目内容

如图，在△ABC中，BC、CA、AB的长分别为a，b，c，
（1）求证：a=bcosC+ccosB；
（2）若 $数学公式$ ，试证明△ABC为直角三角形．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴a²=accosB+bacosC
∴a=bcosC+ccosB
（2）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴△ABC为直角三角形
证法二：由（1）类似可证得：c=acosB+bcosA（*）
由 $\text{[math]}$ 得，accos（π-B）+c²=0．即：c²=accosB
∴c=acosB，结合（*）式得bcosA=0
∴A=90°，∴△ABC为直角三角形．
分析：（1）通过 $\text{[math]}$ ，两边平方化简，即可证明a=bcosC+ccosB；
（2）利用 $\text{[math]}$ ，转化为 $\text{[math]}$ ，推出 $\text{[math]}$ ，即可证明△ABC为直角三角形．
法二：利用（1）的结论，直接化简 $\text{[math]}$ 推出bcosA=0，说明A=90°即可．
点评：本题是中档题，通过向量的数量积转化为三角函数的有关知识，考查三角形的判定，计算能力常考题型，注意本题的解法比较多，（1）也可以取与 $\text{[math]}$ 同向的单位向量 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的两边作数量积，同样可证．