题目内容
已知m＞0，讨论函数f（x）=
的单调性．
| mx2+3(m+1)x+3m+6 | ex |
分析：先求出f′（x）因为m的取值决定了f′（x）的正负，所以分两种情况讨论m的取值范围即可得到函数单调区间即可．
解答：解：f′(x)=
，
设g（x）=-mx2-（m+3）x-3，令g（x）=0，得x1=-
，x2=-1．
①当0＜m＜3时，x1＜x2，x，f′（x）与f（x）的变化情况如下：
∴f（x）在区间（-∞，-
），（-1，+∞）上是减函数，在区间（-
，-1）上是增函数．
②当m=3时，x1=x2，在区间（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数．
③当m＞3时，x1＞x2，x，f′（x）与f（x）的变化情况如下：
∴f（x）在区间（-∞，-1），（-
，+∞）上是减函数，在区间（-1，-
）上是增函数．
| -mx2-(m+3)x-3 |
| ex |
设g（x）=-mx2-（m+3）x-3，令g（x）=0，得x1=-
| 3 |
| m |
①当0＜m＜3时，x1＜x2，x，f′（x）与f（x）的变化情况如下：
| x | （-∞，-
|
-
|
（-
|
-1 | （-1，+∞） | ||||||
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - | ||||||
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
| 3 |
| m |
| 3 |
| m |
②当m=3时，x1=x2，在区间（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（-∞，+∞）上是减函数．
③当m＞3时，x1＞x2，x，f′（x）与f（x）的变化情况如下：
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，-
|
-
|
（-
| ||||||
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - | ||||||
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
| 3 |
| m |
| 3 |
| m |
点评：考查学生利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
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