Question

已知m=（x-lnx-y，a），

n

=（

1

x

+lnx+15，1），其中a＞0，且a≠1，当时，y关于x的函数关系式记为y=f（x）；
（1）写出函数f（x）的解析式，并讨论f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）=

(-2x3-3ax2-6ax-4a2+6a)   ex，x≤1 e•f(x)，x＞

1（e是自然数的底数）．是否存在正整数a，使g（x）在[-a，a]上为减函数？若存在，求出所有满足条件的正整数a；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意

m

∥

n

，且

m

=(x-lnx-y，a)  ，

n

=(

1

x

+lnx+15，1)，利用两向量共线的从要条件得到f（x）的解析式，并由函数解析式，利用导数法求解函数的单调区间；
（2）由题意，可以先假设存在正整数a，使g（x）在[-a，a]上为减函数，利用题意可以转化为导函数在区间上恒成立时的条件进而求解．

解答：解：∵

m

∥

n

，且

m

=(x-lnx-y，a)  ，

n

=(

1

x

+lnx+15，1)，
∴（x-lnx-y）×1-a（

1

x

+lnx+15)=0=0⇒y=f(x)=x-

a

x

-(a+1)lnx-15a，
又f（x）得定义域为（0，+∞）
∴f′(x)=1+

a

x2

-

a+1

x

=

(x-a)(x-1)

x2

，
①若0＜a＜1时，则0＜x＜a或x＞1?f^′（x）＞0；a＜x＜1?f^′（x）＜0，
故f（x）分别在（0，a），（1，+∞）上单调递增；在（a，1）上单调递减；
②若a＞1时，妨①可得：f（x）分别在（0，1），（a，+∞）上单递增，在（1，a）上单调递减．
（2）假设存在，设则h（x）=（-2x³-3ax²-6ax-4a²+6a）e^xe^x  则h^′（x）=[-2x³-3（a+2）x²-12ax-4a²]e^x．
令φ（x）=-2x³-3（a+2）x²-12ax-4a²  （x∈R），
当g（x）在[-a，a]上为减函数，h（x）必在[-a，0]上为减函数，从而h^′（x）≤0在[-a，0]上恒成立，
于是h^′（-a）≤0?φ（-a）=-a³+2a²≤0⇒a≥2 ③，
此时，g（x）在上[-a，a]为减函数?

h(x)在[-a，1]上为减函数 f(x)在[1，a]上为减函数

且h（1）≥ef（1），
有（1）知：当a≥2时，f（x）在[1，a]上为单调递减函数，又h（1）≥ef（1）?4a²-13a+3≤0⇒

1

4

≤a≤3④
又③④得：2≤a≤3，
再考虑，h（x）在[-a，1]上为减函数，?x∈[-a，1]，h^′（x）≤0??x∈[-a，1]，φ（x）≤0?x∈[-a，1]，φ′（x）最大值小于等于0，
φ′（x）=-6（x+a）（x+2），当2≤a≤3时，可求x∈[-a，1]时，φ（x）的最大值为φ（-2）=-4a³+12a-8≤0⇒a≥2．
?x∈[-a，1]，φ（x）=0只有当a=2时，在x=-2取得，亦即h′（x）=0，只有当a=2时，在x=-2取的．
因此，当2≤a≤3时，h（x）[-a，1]在上为单调递减函数，
综上：2≤a≤3时，故存在正整数2，3满足题中的条件．

点评：此题考查了利用导函数求函数的单调区间，还考查了学生等价转化的思想和解不等式时的分类讨论的思想．