题目内容
已知k∈R,函数f(x)=mx+knx(m>0且m≠1,n>0且n≠1).
(Ⅰ) 如果实数m,n满足m>1,mn=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值;如果没有,说明为什么?
(Ⅱ) 如果m>1>n>0,讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅰ) 如果实数m,n满足m>1,mn=1,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相应的k值;如果没有,说明为什么?
(Ⅱ) 如果m>1>n>0,讨论函数f(x)的单调性.
分析:(1)如果f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),转化成(nx-mx)(k-1)=0,根据nx-mx=0不恒成立,可求出k的值.如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),可转化成(nx+mx)(k+1)=0,根据nx+mx=0不恒成立,可求出k的值.
(2)根据m>1>n>0,则
,当k≤0时,显然f(x)=mx+knx在R上为增函数,当k>0时,求出导函数f'(x),令f'(x)=0求出极值点,从而求出函数的单调区间.
(2)根据m>1>n>0,则
m |
n |
解答:解:(1)如果f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)即m-x+kn-x=mx+knx恒成立,
即:nx+kmx=mx+knx,(nx-mx)+k(mx-nx)=0,则 (nx-mx)(k-1)=0.
由nx-mx=0不恒成立,得k=1,即当k=1时,f(x)为偶函数.(3分)
如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立,
即:nx+kmx=-mx-knx,(nx+mx)+k(mx+nx)=0,则 (nx+mx)(k+1)=0.
由nx+mx=0不恒成立,得k=-1,即k=-1时,f(x)为奇函数.
(2)m>1>n>0,则
>1,∴当k≤0时,显然f(x)=mx+knx在R上为增函数.
当k>0时,令 f'(x)=mxlnm+knxlnn=nx•[(
)x+lnm+klnn]=0,
可得[(
)x+lnm+klnn]=0,(
)x=-k
=-klogmn,∴x=log
(-klogmn).
在(-∞,log
(-klogmn) )上,f'(x)<0,函数f(x)为减函数;
在( log
(-klogmn),+∞)上,f'(x)>0,函数f(x)为增函数.
即:nx+kmx=mx+knx,(nx-mx)+k(mx-nx)=0,则 (nx-mx)(k-1)=0.
由nx-mx=0不恒成立,得k=1,即当k=1时,f(x)为偶函数.(3分)
如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立,
即:nx+kmx=-mx-knx,(nx+mx)+k(mx+nx)=0,则 (nx+mx)(k+1)=0.
由nx+mx=0不恒成立,得k=-1,即k=-1时,f(x)为奇函数.
(2)m>1>n>0,则
m |
n |
当k>0时,令 f'(x)=mxlnm+knxlnn=nx•[(
m |
n |
可得[(
m |
n |
m |
n |
lnn |
lnm |
m |
n |
在(-∞,log
m |
n |
在( log
m |
n |
点评:本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及利用导数研究函数的单调性和图形的对称性,同时考查了计算能力和转化的数学思想,属于难题.

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