Question

已知圆锥曲线的焦点为，相应的准线方程为，且曲线过定点.

又直线与曲线交于两点．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）试判断是否存在直线，使得点是△的重心．若存在，求出对应的直线的方程；

若不存在，请说明理由；

（3）试判断是否存在直线，使得点是△的的垂心．若存在，求出对应的直线的方程；

若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)根据圆锥曲线的第二定义知，曲线C的离心率根据圆锥曲线的第二定义知，

曲线C的离心率e＝＜1，故为椭圆，

根据条件解得曲线C的轨迹方程为：.       -----------------4分；

（2）假设存在直线l，使得点F是△BMN的重心.

再设直线l与椭圆.的交点M、N的坐标分别为M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，

则由椭圆几何性质的范围性知：－≤x₁≤, －≤x₂≤，则－2≤x₁＋x₂≤2＜3，

另一方面，F(1,0)是△BMN的重心, 结合   B(0,1)及重心坐标公式知3×1＝0＋x₁＋x₂，

即x₁＋x₂＝3，这与x₁＋x₂≤2＜3矛盾，     故满足要求的直线l不存在. --------------8分；

（3）假设存在直线l，使得点F是△BMN的垂心. 由B(0,1)、F(1,0)，知直线BF的斜率为－1. 于是，由BF⊥MN，知直线l的斜率为1.  设直线l方程为y＝x＋b. 与联立消去y，得3x²＋4bx＋2(b²－1)＝0 （*）

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，根据韦达定理得x₁＋x₂＝－, x₁x₂＝.     

若再能保证NF⊥BM，即·＝0，则F必为△BMN的垂心.

∵＝（1－x₂,－y₂）, ＝(x₁,y₁－1) 

·＝(1－x₂)x₁－y₂(y₁－1)＝x₁＋y₂－x₁x₂－y₁y₂＝x₁＋(x₂＋b)－x₁x₂－(x₁＋b)(x₂＋b)

          ＝－2x₁x₂＋(1－b)(x₁＋x₂)＋b－b²＝－2·＋b－b²＝0

即3b²＋b－4＝0，解得b＝1或b＝－. 

当b＝1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意；    

当b＝－时，代入方程（*）得3x²－x＋＝0，其判别式△＝＝>0，则两端点存在，

满足题设.综上得，存在直线l: y＝x－，使得点F是△BMN的垂心.     ---------------------16分